Quadratic Equations and Inequalities

Sample questions

Showing 20 of 100 questions from this chapter. The full bank is in the chapter test below.

1. 1

   The standard form of a quadratic equation in one variable $x$ is:

   ایک متغیر $x$ میں دو درجی مساوات (quadratic equation) کی معیاری شکل (standard form) ہے:

   • A.✓ $ax^2 + bx + c = 0$, where $a \ne 0$ (correct answer)$ax^2 + bx + c = 0$، جہاں $a \ne 0$
   • B.$ax + b = 0$, where $a \ne 0$$ax + b = 0$، جہاں $a \ne 0$
   • C.$ax^2 + bx = 0$, where $a \ne 0$$ax^2 + bx = 0$، جہاں $a \ne 0$
   • D.$ax^3 + bx^2 + c = 0$, where $a \ne 0$$ax^3 + bx^2 + c = 0$، جہاں $a \ne 0$

   Why: A quadratic equation has degree $2$, so its standard form is $ax^2 + bx + c = 0$ with $a \ne 0$; if $a = 0$ it becomes a linear equation.دو درجی مساوات کی درجہ (degree) $2$ ہوتی ہے، اس لیے اس کی معیاری شکل $ax^2 + bx + c = 0$ ہے جہاں $a \ne 0$؛ اگر $a = 0$ ہو تو یہ لکیری مساوات بن جاتی ہے۔
2. 2

   The equation $2x^2 - x + 1 = 0$ is a:

   مساوات $2x^2 - x + 1 = 0$ ایک:

   • A.linear equationلکیری مساوات (linear equation)
   • B.pure quadratic equationخالص دو درجی مساوات (pure quadratic equation)
   • C.✓ quadratic equation (correct answer)دو درجی مساوات
   • D.cubic equationمکعب مساوات (cubic equation)

   Why: The highest power of $x$ is $2$ and the coefficient of $x$ is non-zero, so it is a quadratic equation.چونکہ $x$ کی بلند ترین قوت $2$ ہے اور $x$ کا عددی سر غیر صفر ہے، اس لیے یہ دو درجی مساوات ہے۔
3. 3

   Which of the following is a pure quadratic equation?

   مندرجہ ذیل میں سے کون سی خالص دو درجی مساوات ہے؟

   • A.$x^2 + 5x - 6 = 0$
   • B.✓ $x^2 - 9 = 0$ (correct answer)
   • C.$x^2 - 3x = 0$
   • D.$2x - 7 = 0$

   Why: A pure quadratic equation has the form $ax^2 + c = 0$ with no $x$ term; only $x^2 - 9 = 0$ fits.خالص دو درجی مساوات کی شکل $ax^2 + c = 0$ ہوتی ہے جس میں $x$ کی اصطلاح (term) نہیں ہوتی؛ صرف $x^2 - 9 = 0$ اس پر پورا اترتا ہے۔
4. 4

   If $a = 0$ in $ax^2 + bx + c = 0$, then the equation becomes:

   اگر $ax^2 + bx + c = 0$ میں $a = 0$ ہو تو مساوات بن جاتی ہے:

   • A.quadraticدو درجی
   • B.pure quadraticخالص دو درجی
   • C.cubicمکعب
   • D.✓ linear (correct answer)لکیری

   Why: With $a = 0$ the $x^2$ term vanishes, leaving $bx + c = 0$, which is a linear equation.جب $a = 0$ ہو تو $x^2$ والی اصطلاح ختم ہو جاتی ہے اور $bx + c = 0$ باقی رہتی ہے جو لکیری مساوات ہے۔
5. 5

   If $(x + l)(x + m) = 0$, then:

   اگر $(x + l)(x + m) = 0$ ہو تو:

   • A.✓ $x + l = 0$ or $x + m = 0$ (correct answer)$x + l = 0$ یا $x + m = 0$
   • B.$x + l = 0$ and $x + m = 0$ at the same time$x + l = 0$ اور $x + m = 0$ بیک وقت
   • C.$x = lm$
   • D.$x = l + m$

   Why: By the zero product property, a product is zero only when at least one of its factors is zero.صفر ضربی خاصیت (zero product property) کے مطابق، کوئی حاصل ضرب صرف اس وقت صفر ہوتا ہے جب اس کے عوامل (factors) میں سے کم از کم ایک صفر ہو۔
6. 6

   The solution set of $x^2 - x - 6 = 0$ is:

   مساوات $x^2 - x - 6 = 0$ کا حل سیٹ (solution set) ہے:

   • A.$\{2, 3\}$
   • B.$\{-3, -2\}$
   • C.$\{-2, 3\}$
   • D.✓ $\{-3, 2\}$ (correct answer)

   Why: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0$, so $x = 3$ or $x = -2$.$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0$، اس لیے $x = 3$ یا $x = -2$۔
7. 7

   The solution set of $x^2 + 3x - 28 = 0$ is:

   مساوات $x^2 + 3x - 28 = 0$ کا حل سیٹ ہے:

   • A.$\{4, 7\}$
   • B.✓ $\{-7, 4\}$ (correct answer)
   • C.$\{-4, 7\}$
   • D.$\{-7, -4\}$

   Why: $x^2 + 3x - 28 = (x + 7)(x - 4) = 0$, so $x = -7$ or $x = 4$.$x^2 + 3x - 28 = (x + 7)(x - 4) = 0$، اس لیے $x = -7$ یا $x = 4$۔
8. 8

   The solution set of $6x^2 + 13x - 5 = 0$ is:

   مساوات $6x^2 + 13x - 5 = 0$ کا حل سیٹ ہے:

   • A.$\{\frac{1}{3}, \frac{5}{2}\}$
   • B.$\{-\frac{1}{3}, -\frac{5}{2}\}$
   • C.✓ $\{\frac{1}{3}, -\frac{5}{2}\}$ (correct answer)
   • D.$\{-\frac{1}{3}, \frac{5}{2}\}$

   Why: $6x^2 + 13x - 5 = (3x - 1)(2x + 5) = 0$, giving $x = \frac{1}{3}$ or $x = -\frac{5}{2}$.$6x^2 + 13x - 5 = (3x - 1)(2x + 5) = 0$، جس سے $x = \frac{1}{3}$ یا $x = -\frac{5}{2}$ ملتا ہے۔
9. 9

   The product of two consecutive positive integers is $42$. The integers are:

   دو مسلسل مثبت اعداد صحیح (integers) کا حاصل ضرب $42$ ہے۔ وہ اعداد صحیح ہیں:

   • A.$5$ and $6$$5$ اور $6$
   • B.$6$ and $8$$6$ اور $8$
   • C.✓ $6$ and $7$ (correct answer)$6$ اور $7$
   • D.$7$ and $8$$7$ اور $8$

   Why: $x(x + 1) = 42$ gives $x^2 + x - 42 = 0 = (x + 7)(x - 6)$, so $x = 6$ and the integers are $6$ and $7$.$x(x + 1) = 42$ سے $x^2 + x - 42 = 0 = (x + 7)(x - 6)$ ملتا ہے، اس لیے $x = 6$ اور اعداد صحیح $6$ اور $7$ ہیں۔
10. 10

    The solution set of $2x^2 - 11x + 12 = 0$ is:

    مساوات $2x^2 - 11x + 12 = 0$ کا حل سیٹ ہے:

    • A.✓ $\{\frac{3}{2}, 4\}$ (correct answer)
    • B.$\{-\frac{3}{2}, 4\}$
    • C.$\{\frac{3}{2}, -4\}$
    • D.$\{-\frac{3}{2}, -4\}$

    Why: $2x^2 - 11x + 12 = (2x - 3)(x - 4) = 0$, so $x = \frac{3}{2}$ or $x = 4$.$2x^2 - 11x + 12 = (2x - 3)(x - 4) = 0$، اس لیے $x = \frac{3}{2}$ یا $x = 4$۔
11. 11

    The square of a positive number exceeds $8$ times the number by $9$. The number is:

    ایک مثبت عدد کا مربع اس عدد کے $8$ گنا سے $9$ زیادہ ہے۔ وہ عدد ہے:

    • A.$8$
    • B.$6$
    • C.$10$
    • D.✓ $9$ (correct answer)

    Why: $x^2 = 8x + 9$ gives $x^2 - 8x - 9 = 0 = (x - 9)(x + 1)$, so $x = 9$.$x^2 = 8x + 9$ سے $x^2 - 8x - 9 = 0 = (x - 9)(x + 1)$ ملتا ہے، اس لیے $x = 9$۔
12. 12

    The solution set of $\frac{2x - 3}{x - 1} = \frac{x + 3}{x + 1}$, $x \ne \pm 1$, is:

    مساوات $\frac{2x - 3}{x - 1} = \frac{x + 3}{x + 1}$، جہاں $x \ne \pm 1$، کا حل سیٹ ہے:

    • A.$\{0, -3\}$
    • B.✓ $\{0, 3\}$ (correct answer)
    • C.$\{3\}$
    • D.$\{0\}$

    Why: Cross-multiplying gives $2x^2 - x - 3 = x^2 + 2x - 3$, so $x^2 - 3x = 0$ and $x = 0$ or $x = 3$.ضربِ تصالبی (cross multiplication) سے $2x^2 - x - 3 = x^2 + 2x - 3$ ملتا ہے، اس لیے $x^2 - 3x = 0$ اور $x = 0$ یا $x = 3$۔
13. 13

    Solving $x^2 + 6x + 8 = 0$ by completing the square gives the solution set:

    مکمل مربع (completing the square) کے طریقے سے حل کرنے پر مساوات $x^2 + 6x + 8 = 0$ کا حل سیٹ ہے:

    • A.$\{2, 4\}$
    • B.✓ $\{-2, -4\}$ (correct answer)
    • C.$\{-2, 4\}$
    • D.$\{2, -4\}$

    Why: $(x + 3)^2 = 1$, so $x + 3 = \pm 1$ and $x = -2$ or $x = -4$.$(x + 3)^2 = 1$، اس لیے $x + 3 = \pm 1$ اور $x = -2$ یا $x = -4$۔
14. 14

    The solution set of $2x^2 + 5x - 3 = 0$ obtained by completing the square is:

    مکمل مربع کے طریقے سے حاصل کردہ مساوات $2x^2 + 5x - 3 = 0$ کا حل سیٹ ہے:

    • A.$\{\frac{1}{2}, 3\}$
    • B.$\{-\frac{1}{2}, 3\}$
    • C.$\{-\frac{1}{2}, -3\}$
    • D.✓ $\{\frac{1}{2}, -3\}$ (correct answer)

    Why: $(x + \frac{5}{4})^2 = \frac{49}{16}$, so $x = -\frac{5}{4} \pm \frac{7}{4}$, giving $x = \frac{1}{2}$ or $x = -3$.$(x + \frac{5}{4})^2 = \frac{49}{16}$، اس لیے $x = -\frac{5}{4} \pm \frac{7}{4}$، جس سے $x = \frac{1}{2}$ یا $x = -3$ ملتا ہے۔
15. 15

    Which of the following numbers is irrational?

    مندرجہ ذیل میں سے کون سا عدد غیر ناطق (irrational) ہے؟

    • A.✓ $\sqrt{7}$ (correct answer)
    • B.$\sqrt{25}$
    • C.$\frac{9}{3}$
    • D.$4$

    Why: $\sqrt{7}$ cannot be written as a fraction of integers, while $\sqrt{25} = 5$, $\frac{9}{3} = 3$ and $4$ are all rational.$\sqrt{7}$ کو اعداد صحیح کے کسر کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا، جب کہ $\sqrt{25} = 5$، $\frac{9}{3} = 3$ اور $4$ سب ناطق (rational) ہیں۔
16. 16

    To solve $x^2 + px + q = 0$ by completing the square, the number added to both sides is:

    مساوات $x^2 + px + q = 0$ کو مکمل مربع کے طریقے سے حل کرنے کے لیے دونوں اطراف میں جو عدد شامل کیا جاتا ہے وہ ہے:

    • A.$p^2$
    • B.$\frac{p}{2}$
    • C.✓ $\frac{p^2}{4}$ (correct answer)
    • D.$2p$

    Why: Half the coefficient of $x$ is $\frac{p}{2}$, and its square, $\frac{p^2}{4}$, completes the square.$x$ کے عددی سر کا آدھا $\frac{p}{2}$ ہے، اور اس کا مربع $\frac{p^2}{4}$ مربع کو مکمل کرتا ہے۔
17. 17

    The number that must be added to $x^2 - 10x$ to make it a perfect square is:

    وہ عدد جو $x^2 - 10x$ کو مکمل مربع (perfect square) بنانے کے لیے شامل کیا جانا چاہیے، ہے:

    • A.$5$
    • B.$10$
    • C.✓ $25$ (correct answer)
    • D.$100$

    Why: Half of $-10$ is $-5$ and $(-5)^2 = 25$.$-10$ کا آدھا $-5$ ہے اور $(-5)^2 = 25$۔
18. 18

    The quadratic formula for solving $ax^2 + bx + c = 0$ is:

    مساوات $ax^2 + bx + c = 0$ کو حل کرنے کے لیے دو درجی فارمولا (quadratic formula) ہے:

    • A.$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2}$
    • B.✓ $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (correct answer)
    • C.$x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
    • D.$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$

    Why: Completing the square on $ax^2 + bx + c = 0$ gives $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.مساوات $ax^2 + bx + c = 0$ پر مکمل مربع کرنے سے $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ملتا ہے۔
19. 19

    Using the quadratic formula, the solution set of $3x^2 - 8x + 4 = 0$ is:

    دو درجی فارمولے کے استعمال سے مساوات $3x^2 - 8x + 4 = 0$ کا حل سیٹ ہے:

    • A.$\{-2, \frac{2}{3}\}$
    • B.$\{-2, -\frac{2}{3}\}$
    • C.✓ $\{2, \frac{2}{3}\}$ (correct answer)
    • D.$\{2, -\frac{2}{3}\}$

    Why: Discriminant $= 64 - 48 = 16$, so $x = \frac{8 \pm 4}{6}$, giving $x = 2$ or $x = \frac{2}{3}$.ممیز (ڈسکرمنٹ) $= 64 - 48 = 16$، اس لیے $x = \frac{8 \pm 4}{6}$، جس سے $x = 2$ یا $x = \frac{2}{3}$ ملتا ہے۔
20. 20

    Using the quadratic formula, the solution set of $3x^2 + 4x - 15 = 0$ is:

    دو درجی فارمولے کے استعمال سے مساوات $3x^2 + 4x - 15 = 0$ کا حل سیٹ ہے:

    • A.✓ $\{\frac{5}{3}, -3\}$ (correct answer)
    • B.$\{\frac{5}{3}, 3\}$
    • C.$\{-\frac{5}{3}, 3\}$
    • D.$\{-\frac{5}{3}, -3\}$

    Why: Discriminant $= 16 + 180 = 196$, so $x = \frac{-4 \pm 14}{6}$, giving $x = \frac{5}{3}$ or $x = -3$.ممیز $= 16 + 180 = 196$، اس لیے $x = \frac{-4 \pm 14}{6}$، جس سے $x = \frac{5}{3}$ یا $x = -3$ ملتا ہے۔