Matrices and Determinants

Sample questions

Showing 20 of 100 questions from this chapter. The full bank is in the chapter test below.

1. 1

   The word "matrix" was first used in $1850$ by which mathematician?

   “میٹرکس (matrix)” کا لفظ سب سے پہلے $1850$ میں کس ریاضی دان نے استعمال کیا؟

   • A.✓ James Joseph Sylvester (correct answer)
   • B.Arthur Cayley
   • C.William Rowan Hamilton
   • D.Cullis

   Why: James Joseph Sylvester, an English mathematician and lawyer, first used the word "matrix" in $1850$.انگریز ریاضی دان اور وکیل James Joseph Sylvester نے سب سے پہلے $1850$ میں “میٹرکس” کا لفظ استعمال کیا۔
2. 2

   The first abstract definition of a matrix appeared in the "Memoir on the Theory of Matrices" published in $1858$ by:

   میٹرکس کی پہلی تجریدی تعریف $1858$ میں شائع ہونے والی “Memoir on the Theory of Matrices” میں پیش کی گئی۔ یہ کس نے شائع کی؟

   • A.James Joseph Sylvester
   • B.William Rowan Hamilton
   • C.Cullis
   • D.✓ Arthur Cayley (correct answer)

   Why: Arthur Cayley published "Memoir on the Theory of Matrices" in $1858$, containing the first abstract definition of a matrix.Arthur Cayley نے $1858$ میں “Memoir on the Theory of Matrices” شائع کی، جس میں میٹرکس کی پہلی تجریدی تعریف موجود تھی۔
3. 3

   Modern bracket notation for matrices was first used in $1913$ by the mathematician:

   میٹرکس کے لیے جدید بریکٹ علامت (bracket notation) سب سے پہلے $1913$ میں کس ریاضی دان نے استعمال کی؟

   • A.Arthur Cayley
   • B.✓ Cullis (correct answer)
   • C.James Joseph Sylvester
   • D.William Rowan Hamilton

   Why: The English mathematician Cullis was the first to use the modern bracket notation for matrices in $1913$.انگریز ریاضی دان Cullis سب سے پہلے $1913$ میں میٹرکس کے لیے جدید بریکٹ علامت استعمال کرنے والے تھے۔
4. 4

   A matrix is a ___ array of numbers written in rows and columns.

   میٹرکس اعداد کی ایک ___ ترتیب (array) ہے جو قطاروں اور ستونوں میں لکھی جاتی ہے۔

   • A.circularدائروی (circular)
   • B.triangularمثلثی (triangular)
   • C.✓ rectangular (correct answer)مستطیلی (rectangular)
   • D.sphericalکروی (spherical)

   Why: A matrix is a rectangular array of elements written within square brackets in rows and columns.میٹرکس عناصر کی مستطیلی (rectangular) ترتیب ہوتی ہے جو مربع بریکٹس میں قطاروں اور ستونوں کی صورت میں لکھی جاتی ہے۔
5. 5

   The school time table, the flight schedule at an airport and the arrival and departure times of trains are usually written in the form of a ___.

   اسکول کا ٹائم ٹیبل، ہوائی اڈے کا پروازوں کا نظام الاوقات اور ٹرینوں کے پہنچنے اور روانگی کے اوقات عام طور پر ___ کی صورت میں لکھے جاتے ہیں۔

   • A.✓ matrix (correct answer)میٹرکس
   • B.determinantسائیلی مرتبہ (ڈیٹرمیننٹ)
   • C.setسیٹ (set)
   • D.vectorسمتیہ (vector)

   Why: Such schedules are displayed in the form of a matrix, with rows and columns showing the relevant information.ایسے نظام الاوقات میٹرکس کی صورت میں پیش کیے جاتے ہیں، جن کی قطاریں اور ستون متعلقہ معلومات ظاہر کرتے ہیں۔
6. 6

   Matrices are generally denoted by ___ letters and their elements by ___ letters.

   میٹرکس کو عام طور پر ___ حروف سے اور ان کے اجزا کو ___ حروف سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

   • A.small, capitalچھوٹے، بڑے (small, capital)
   • B.Greek, Englishیونانی، انگریزی (Greek, English)
   • C.capital, Greekبڑے، یونانی (capital, Greek)
   • D.✓ capital, small (correct answer)بڑے، چھوٹے (capital, small)

   Why: Matrices are denoted by capital letters of the English alphabet while their elements are denoted by small letters.میٹرکس کو انگریزی حروف تہجی کے بڑے (capital) حروف سے اور ان کے اجزا کو چھوٹے حروف سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
7. 7

   Every scalar matrix and every identity matrix is also a ___ matrix.

   ہر اسکیلر میٹرکس (scalar matrix) اور ہر شناختی میٹرکس (identity matrix) بھی ___ میٹرکس ہوتی ہے۔

   • A.rectangularمستطیلی
   • B.✓ diagonal (correct answer)وتر (diagonal)
   • C.columnستونی
   • D.skew-symmetricترچھا متناظر (skew-symmetric)

   Why: A scalar matrix and an identity matrix are also diagonal matrices, but not every diagonal matrix is scalar or identity.اسکیلر میٹرکس اور شناختی میٹرکس وتر میٹرکس (diagonal matrix) بھی ہوتی ہیں، لیکن ہر وتر میٹرکس اسکیلر یا شناختی نہیں ہوتی۔
8. 8

   A matrix having $3$ rows and $4$ columns is of order ___.

   جس میٹرکس میں $3$ قطاریں اور $4$ ستون ہوں اس کا مرتبہ (order) ___ ہوتا ہے۔

   • A.$4$-by-$3$
   • B.$12$-by-$3$
   • C.✓ $3$-by-$4$ (correct answer)
   • D.$12$

   Why: The order of a matrix with $m$ rows and $n$ columns is $m$-by-$n$, so here the order is $3$-by-$4$.جس میٹرکس میں $m$ قطاریں اور $n$ ستون ہوں اس کا مرتبہ $m$-by-$n$ ہوتا ہے، اس لیے یہاں مرتبہ $3$-by-$4$ ہے۔
9. 9

   The number of elements in a matrix of order $2$-by-$3$ is ___.

   مرتبہ $2$-by-$3$ والی میٹرکس میں عناصر کی تعداد ___ ہوتی ہے۔

   • A.$5$
   • B.$3$
   • C.$2$
   • D.✓ $6$ (correct answer)

   Why: A matrix of order $m$-by-$n$ has $mn$ elements, so a $2$-by-$3$ matrix has $2 \times 3 = 6$ elements.مرتبہ $m$-by-$n$ والی میٹرکس میں $mn$ عناصر ہوتے ہیں، اس لیے $2$-by-$3$ میٹرکس میں $2 \times 3 = 6$ عناصر ہوتے ہیں۔
10. 10

    Two matrices A and B are equal if and only if ___.

    دو میٹرکس A اور B برابر ہوتی ہیں اگر اور صرف اگر ___۔

    • A.they have the same number of elementsان میں عناصر کی تعداد یکساں ہو
    • B.✓ they are of the same order and their corresponding elements are equal (correct answer)ان کا مرتبہ یکساں ہو اور ان کے مماثل عناصر برابر ہوں
    • C.they are both square matricesدونوں مربعی میٹرکس ہوں
    • D.their determinants are equalان کے سائیلی مرتبے برابر ہوں

    Why: Equal matrices must have the same order and every corresponding pair of elements must be equal.برابر میٹرکس کا مرتبہ ایک جیسا ہونا ضروری ہے اور مماثل عناصر کا ہر جوڑا بھی برابر ہونا چاہیے۔
11. 11

    If $\begin{pmatrix} a + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \end{pmatrix}$, then $a =$ ___.

    اگر $\begin{pmatrix} a + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \end{pmatrix}$ ہو تو $a =$ ___۔

    • A.✓ $5$ (correct answer)
    • B.$7$
    • C.$9$
    • D.$3$

    Why: Equal matrices have equal corresponding elements, so $a + 2 = 7$ and $a = 5$.برابر میٹرکس کے مماثل عناصر برابر ہوتے ہیں، اس لیے $a + 2 = 7$ اور $a = 5$۔
12. 12

    If $\begin{pmatrix} a & 2 \\ 3 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, then ___.

    اگر $\begin{pmatrix} a & 2 \\ 3 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ہو تو ___۔

    • A.$a = 2$, $b = 3$
    • B.$a = 1$, $b = 2$
    • C.✓ $a = 1$, $b = 4$ (correct answer)
    • D.$a = 2$, $b = 4$

    Why: Equal matrices have equal corresponding elements, so $a = 1$ and $b = 4$.برابر میٹرکس کے مماثل عناصر برابر ہوتے ہیں، اس لیے $a = 1$ اور $b = 4$۔
13. 13

    If $\begin{pmatrix} 2x + 1 & 4 \\ 7 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 4 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}$, then ___.

    اگر $\begin{pmatrix} 2x + 1 & 4 \\ 7 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 4 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}$ ہو تو ___۔

    • A.$x = 4$, $y = 9$
    • B.✓ $x = 4$, $y = 5$ (correct answer)
    • C.$x = 8$, $y = 5$
    • D.$x = 5$, $y = 4$

    Why: Equating corresponding elements: $2x + 1 = 9$ gives $x = 4$, and $y = 5$.مماثل عناصر کو برابر رکھنے سے: $2x + 1 = 9$ سے $x = 4$ ملتا ہے، اور $y = 5$۔
14. 14

    A matrix having only one row is called a ___ matrix.

    جس میٹرکس میں صرف ایک قطار ہو اسے ___ میٹرکس کہتے ہیں۔

    • A.✓ row (correct answer)قطاری (row)
    • B.columnستونی (column)
    • C.squareمربعی (square)
    • D.nullصفر (null)

    Why: A matrix with a single row is called a row matrix, for example $\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$.جس میٹرکس میں صرف ایک قطار ہو اسے قطاری میٹرکس (row matrix) کہتے ہیں، جیسے $\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$۔
15. 15

    The matrix $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}$ is a ___ matrix.

    میٹرکس $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}$ ایک ___ میٹرکس ہے۔

    • A.columnستونی
    • B.squareمربعی
    • C.nullصفر
    • D.✓ row (correct answer)قطاری

    Why: The matrix has only one row, so it is a row matrix of order $1$-by-$3$.اس میٹرکس میں صرف ایک قطار ہے، اس لیے یہ مرتبہ $1$-by-$3$ کی قطاری میٹرکس ہے۔
16. 16

    The order of the matrix $\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$ is ___.

    میٹرکس $\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$ کا مرتبہ ___ ہے۔

    • A.$1$-by-$3$
    • B.$3$-by-$3$
    • C.✓ $3$-by-$1$ (correct answer)
    • D.$1$-by-$1$

    Why: The matrix has $3$ rows and $1$ column, so its order is $3$-by-$1$ and it is a column matrix.اس میٹرکس میں $3$ قطاریں اور $1$ ستون ہے، اس لیے اس کا مرتبہ $3$-by-$1$ ہے اور یہ ستونی میٹرکس (column matrix) ہے۔
17. 17

    A matrix all of whose entries are zero is called a ___ matrix.

    جس میٹرکس کے تمام اجزا صفر ہوں اسے ___ میٹرکس کہتے ہیں۔

    • A.✓ null (correct answer)صفر (null)
    • B.scalarاسکیلر (scalar)
    • C.unitشناختی (unit)
    • D.diagonalوتر (diagonal)

    Why: A matrix with every entry zero is called a zero matrix or null matrix, denoted by $O$.جس میٹرکس کا ہر جز صفر ہو اسے صفر میٹرکس (zero matrix یا null matrix) کہتے ہیں، جسے $O$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
18. 18

    A matrix in which the number of rows is equal to the number of columns is called a ___ matrix.

    جس میٹرکس میں قطاروں کی تعداد ستونوں کی تعداد کے برابر ہو اسے ___ میٹرکس کہتے ہیں۔

    • A.rectangularمستطیلی
    • B.✓ square (correct answer)مربعی
    • C.rowقطاری
    • D.diagonalوتر

    Why: A matrix of order $n$-by-$n$ is called a square matrix of order $n$.مرتبہ $n$-by-$n$ والی میٹرکس کو مرتبہ $n$ کی مربعی میٹرکس (square matrix) کہتے ہیں۔
19. 19

    Which of the following is a rectangular matrix?

    مندرجہ ذیل میں سے کون سی مستطیلی میٹرکس (rectangular matrix) ہے؟

    • A.$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
    • B.$\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}$
    • C.$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
    • D.✓ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ (correct answer)

    Why: A matrix is rectangular when the number of rows and columns are not equal; $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ is of order $2$-by-$3$.میٹرکس مستطیلی ہوتی ہے جب قطاروں اور ستونوں کی تعداد برابر نہ ہو؛ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ کا مرتبہ $2$-by-$3$ ہے۔
20. 20

    In the square matrix $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$, the entries $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$ lie on the ___.

    مربعی میٹرکس $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ میں اجزا $a_{11}$، $a_{22}$، $a_{33}$ ___ پر واقع ہیں۔

    • A.secondary diagonalثانوی وتر (secondary diagonal)
    • B.lower diagonalزیریں وتر (lower diagonal)
    • C.✓ principal diagonal (correct answer)اصلی وتر (principal diagonal)
    • D.zero diagonalصفر وتر (zero diagonal)

    Why: The entries $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$ form the principal diagonal, also called the main or leading diagonal.اجزا $a_{11}$، $a_{22}$، $a_{33}$ اصلی وتر (principal diagonal) بناتے ہیں، جسے مرکزی یا سرکردہ وتر (main or leading diagonal) بھی کہتے ہیں۔